Линейная алгебра


А.А. ТУГ АНБАЕВ





ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА






Учебное пособие



--и издание, стереотипное

















Москва Издательство «ФЛИНТА» 2024

      УДК 512.64(075.8)
      ББК 22.143я73
           Т81






     Туганбаев А.А.
Т81 Линейная алгебра : учеб. пособие / А. А. Туганбаев. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2024. - 75 с. - ISBN 978-5-9765-1407-2. -Текст : электронный.

         В книге рассмотрен следующий важный раздел математики: линейная алгебра. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
         Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.




УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73




Учебное издание


                        Туганбаев Аскар Аканович


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


Учебное пособие



Подписано к выпуску 25.03.2024.
Уч.-изд. л. 3,08.
                      Электронное издание для распространения через Интернет.


ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, офис 324. Тел.: (495) 334-82-65; (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru




ISBN 978-5-9765-1407-2

© Туганбаев А.А., 2022
© Издательство «ФЛИНТА», 2022

     Оглавление



1. Векторы из Rⁿ и матрицы из RmXⁿ               4

      2. Определители и обратные матрицы               7

      3. Системы линейных уравнений                   11

      4. Скалярное, векторное и смешанное произведения 20

      5. Плоскости                                    24

      6. Прямые                                       26

      7. Кривые и поверхности второго порядка         27

      8. Комплексные числа                            32

      9. Многочлены и рациональные дроби              34

      10. Линейные пространства и их базисы            36

      11. Свойства п-мерных линейных пространств       41

      12. Задачи для самостоятельного решения          51

      13. Контрольные задания по линейной алгебре      57

      14. Контрольные задания по аналитической геометрии 72


3

Алгебра и геометрия

      1.   Векторы из и матрицы из "

      1.1. Векторное пространство Rⁿ. Столбцы а чисел высоты п называются п-мерными векторами или просто векторами. При этом направленные отрезки мы называем геометрическими векторами, причем два параллельных однонаправленных вектора одной длины считаются равными. Столбцы а часто записывают для удобства в виде строк а? = (ai,.. . ,ап), где аг - i-я координата столбца а и строки аТ. Вместо а будем также писать (а;)™₌₁ или просто (а^). Множество всех столбцов высоты п обозначается через Rⁿ. Множество всех строк длины п обозначается через (Rⁿ)T.
      Если а = (aj) и b = (6j) - векторы из Rⁿ, то вектор +^*г) € Rⁿ называется суммой векторов а и b и обозначается через а + b (и иногда через а ф Ь, чтобы подчеркнуть, что речь идет именно о сложении векторов).
      Если а - вектор из Rⁿ и а - число, то вектор (аа^) из Rⁿ, у которого i-я координата равна aai, i = 1,..., п, называется произведением вектора а на число а и обозначается через аа (и иногда через а 0 а). Нулевой вектор из одних нулей обозначается через 0. Вектор — а = ( — 1) 0 а = ( — а;) называется противоположным к вектору а.
      Множество Rⁿ вместе с определенными выше операциями сложения векторов и умножения их на числа называется арифметическим п-мерным векторным пространством.
      1.2. Связь между геометрическими векторами и Rⁿ.
      Мы отождествляем множество всех геометрических векторов на плоскости Оху или в трехмерном пространстве с R² или R³ соответственно, сопоставив каждому геометрическому вектору столбец из его координат. При этом геометрической сумме геометрических векторов соответствует сумма столбцов, а домножению геометрического вектора на число соответствует домножение столбца на то же число. Векторы единичной длины, направленные по осям Ох, Оу, Oz, обозначаются через г,], к.

1.3. Матрицы. Таблица чисел А =

■ “и «21

«12
«22

«1п
«2п

\ «ml

«m2

«тп /

состоящая из т строк длины п и п столбцов высоты т называется матрицей размера т X п и также обозначается («ц)тхп или просто (а.;₇), где aij - ij-й элемент матрицы А. Строки и столбцы матрицы размера т X п являются матрицами размеров 1 X п и т X 1 соответственно. Множество всех матриц размера т X п обозначается через

Векторы из Rⁿ и матрицы из RmXⁿ

5

jgmxn


Для матрицы А = («-;-/) матрица —А = ( — а.;;) называется противоположной к А. Через ОтХп обозначается нулевая матрица размера т X п, состоящая из одних нулей. Матрица называется квадратной (порядка п), если т = п (т.е. число строк равно числу столбцов). Главной диагональю квадратной матрицы А = (а;;/) порядка п называется та часть А, где стоят элементы «и, «22 • • •, о-пп- Квадратная матрица Еп порядка п называется единичной матрицей (порядка п), если у нее на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах - нули. Скалярными матрица

ми называются все квадратные матрицы, у которых везде на глав-

ной диагонали стоит одно и то же число, а на остальных местах - нули. Квадратная матрица А = (а;;/) называется симметричес-

кой, если она симметрична относительно главной диагонали, т.е.

если aij

aji для всех i и j. Например,



            (:!)



- симметри-

ческая матрица. Через АТ обозначается транспонированная матри-

ца (bij)ₙXₘ = (aji) размера п X т, получающаяся из А операцией транспонирования, при которой первая, вторая, ... строки

матрицы А становятся первым

АТ. Например,

(¹² ³Г= у 4 5 6 у

, вторым, ... столбцами матрицы ¹ 1 4 \
  2  5  . Результатом транспони-
  ³  ⁶ /

рования любого столбца

высоты п является строка

а? = («1,..., ап) длины п.

1.4. Сложение матриц и умножение их на числа.
Если А = (а^) и В = (bij) - две матрицы из RmXⁿ, то матрица (а^ + bij) G RmXⁿ называется суммой матриц Л и В и обозначается через А + В (и иногда через А ф В, чтобы подчеркнуть, что речь идет именно о сложении матриц).

Если А - матрица из RmXⁿ и а - число, то матрица (aaij) из RmXⁿ, у которой ij-й элемент равен аа.;;, называется произведением матрицы А на число а и обозначается через а А (и иногда через «0 4).
1.5. Свойства операций в Rⁿ и RmXⁿ.
Заметим, что RmX¹ = R’"' и R¹Xⁿ = RⁿT. Поэтому сложение векторов и умножение их на числа являются частными случаями аналогичных действий с матрицами и поэтому обладают их свойствами.

Обозначим через L пространство Rⁿ или RmXⁿ. В обоих случаях элементы из L будем обозначать через а, Ь,... В пространстве L one-

Алгебра и геометрия

рации сложения ф и умножения на число 0, обладают указанными ниже свойствами, вытекающими из соответствующих свойств операций над числами.
1) . а ф (b ф z) = (а ф 6) ф z для любых a, b, z G L.
2) . Существует такой элемент 0 6 L, называемый нулевым, что Оф а = а для любого a G L.
3) . Для каждого элемента a G L существует такой элемент из L, обозначаемый через —а и называемый противоположным к а элементом, что ж ф ( — а) = 0 - нулевой элемент.
4) . а ф b = b ф а для любых a,b G L.
5) . 1 0 а = а для любого a G L.
6) . (аД) 0 а = а 0 (Д 0 а) для любых чисел а, Д и каждого a G L.
7) . (а + Д) 0 а = a Q х ф +Д 0 а для любых чисел а, Д и каждого a G L.
8) . а 0 (аф 6) = а0аф +а 0 Ъ для любого числа а и каждого a G L.
1.6. Умножение строки длины п на столбец высоты п.
( bi \

Для любой строки ат = («1,..., ап) длины п и столбца b =

                                                   \ Ьп ) высоты п, равной длине строки а, определяется их произведение ат ■ b = aᵣbᵣ Н-апЪп.
1.7. Умножение матриц размера m X п и п X р.
Для матрицы А = (aij) размера m X п и матрицы В = (^₇х) размера п X р произведением А X В называется матрица А ■ В размера m X р, у которой первая строка получается так: первый элемент первой строки матрицы А ■ В равен произведению первой строки матрицы А на первый столбец матрицы В, второй элемент первой строки матрицы А ■ В равен произведению первой строки матрицы А на второй столбец матрицы В и т.д.. Вторая (третья, ...) строка матрицы А ■ В получается аналогично: j-й элемент второй (третьей, ...) строки матрицы А ■ В равен произведению второй (третьей, ...) строки матрицы А на j-й столбец матрицы В. Например,

(¹ ²
\4 5

3
6

            / (-1 + 2 + 0)
              (-4 + 5 + 0)


)-(:;)

(0 + 4-3)
(0 + 10-6)

Таким образом, произведение А • В матрицы А размера т X п на

Определители и обратные матрицы

7

матрицу В размера пхр- матрица размера тхр, причем произведение В ■ А при р т не существует, а при р = т матрица В ■ А имеет размер n X п. Однако заметим, что произведение двух квадратных матриц одного размера является квадратной матрицей того же размера.
1.8. Свойства умножения матриц. Можно проверить, что для любых квадратных матриц А, В, С размера п X п

А ■ Еп = Еп ■ А = А, А(ВС) = (АВ)С, (АВ)Т = ВТАТ, (Ат)т = А.

Заметим, что если А =



ТО

   А²⁼⁰’ ¹в⁼П о)=⁰' ва=(о

Поэтому в произведении матриц (в отличие от произведения чисел) сомножители не всегда можно переставлять, причем произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.



2. Определители и обратные матрицы


2.1. Каждой квадратной матрице А размера п X п мы сопоставим по некоторому правилу число, обозначаемое det(A) или |Л| и называемое определителем матрицы А. Определители матриц размера пхп также называются определителями порядка п или определителями п-го порядка. Сначала рассматрим определители порядка < 3.

2.2. Определители порядка 1 и 2. Мы условимся считать, что любое число а является квадратной матрицей размера 1x1 поряд-

ка 1 с определителем det (а) =


а.

Определителем квадратной матрицы А = [ Я¹¹ °¹² I порядка 2 у «21                                        «22 /
называется число |Л| = аца22 — «21«12! обозначаемое также через


1 2
3 4

«и
«21

«12
«22

. Например,

= 1 - 4 - 3 - 2 = -2.

2.3.

Определители

порядка

3. Определителем |Л| квадратной

матрицы

«И •

«22
«32

«23
«33

«И
«21
«31

«12
«22
«32

«13
«23
«33

порядка 3 называется число

— «12

«21   «23
«31   «33

+ «13 •

«21   «22
«31   «32

А =

Алгебра и геометрия

— «11«22«33 + «12«23«31 + «21«32«13 “ «31«22«13 “ «21«12«33 “ «32«23«11,

                            ан «12 «13                       12 3     
обозначаемое также через   «21  «22  «23       . Например,  4 5 6   = 
                           «31  «32  «33                    7 8 9     
1-5-9+2-6-7+4-8-3---7-5-3---4-2-9---8-6-1 = 45+84+96-105   -72-48 = 0.

2.4. Определители порядка > 3. Пусть А = (aij) - матрица размера («+1) X («+1). Допустим, что мы умееем вычислять определители матриц размера п X п. Тогда определителем |Л| матрицы А называется число


          ОцМц — о^2 М12 + «13-^13 — • • • + ( —l)ⁿ⁺¹Miₙ,    (*)

где Mij, j = 1,..., п - определитель матрицы размера пхп, полученной из А после удаления первой строки и j-ro столбца. Например, если А - матрица размера 4x4, то ее определитель |Л| равен

яцМц — а₁₂М12 + «13-^13 — ai4Mi4.


Зная определители четвертого порядка, можно вычислять определители пятого порядка с помощью формулы (*). Продолжая аналогичным образом, можно вычислить определитель любого порядка.

2.5. Свойства определителей. Ниже указаны свойства определителей, которые в случае п = 2 и п = 3 проверяются прямым подсчетом определителей, а в случае произвольного п приводятся без доказательства.

1) . |Д| = |ЛТ|, т.е. определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что свойствам определителей, связанным с его строками, соответствуют аналогичные свойства, связанные с его столбца

ми.
Например,


1 2
3 4

1 3
2 4

2) . |В| = — |Л|, если определитель |В| получен из |Л| переменой местами любых двух строк (столбцов). Иными словами, при перемене местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак.


Например,


1 2
3 4

3 4
1 2

3) . Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен

нулю, поскольку при перемене местами равных строк определитель с одной стороны не изменится, а с другой стороны - поменяет знак по 2).

4) . Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить


за знак определителя. Например,


2 4
3 9

1
1

2
3

= 2 • 3 •

Определители и обратные матрицы

9

5) . Определитель не изменится, если к любой его строке прибавить произвольную другую его строку, домноженную на любое число.
6) . |ЛВ| = |Л||В|, т.е. определитель произведения двух квадратных матриц одного размера равен произведению их определителей.
7) . Разложение определителя по строке или столбцу.
Если А - квадратная матрица размера n X п, то


     |Л| = (-1)г⁺¹(аиМ1 - «йМг + ^зМз -•••), г = 1, • • - ,п,
    |Л| =              - a₂ⱼM₂ⱼ + a₃ⱼM₃ⱼ -...), j = 1,.. .,n,

где Mij - определитель матрицы размера (n—l)x(n—1), полученной

из А после удаления г-й строки и j-ro столбца.

Например,

12 3
4 5 6
7 8 9

= —4 •

+ 5-

¹ ³ -6      ¹²
7 9      ’78

2
8

3
9

=-4(18 - 24) + 5(9 - 21) - 6(8 - 14) = 24 - 60 + 36 = 0.

8) . Фальшивое разложение определителя по строке или столбцу.
Если А - квадратная матрица размера n X п, то



0 = ацМк₁ - aᵢ₂Mₖ₂ + aᵢ₃Mₖ₃ - ... , i к, i, к = 1,... ,n,
     0 = a!jMₗₖ - a₂ⱼM₂ₖ + a₃ⱼM₃ₖ - ... , j ф к, j, к = 1,... ,n, где Mij - определитель матрицы размера (n—l)x(n—1), полученной из А после удаления г-й строки и j-ro столбца.

                   1 2 -3                                
                                      _ _ ____           
2.6. Вычислить А = -2 5   4 двумя способами: по определе-
                   0 7-1                                 

нию и путем разложения по первому столбцу.
< По правилу вычисления определителей

А = 1 • 5 • (-1) + (-2) • 7 • (-3) + 2-4-0-0 • 5 • (-3) - (-2) • 2 • (-1) - 1 • 4 • 7 = 5.

Разложим А по первому столбцу:

А = 1 •

5
7

2
7

-2-(-1)

-3
-1

+

2
5

+0-

= -5 - 28 + 2(—2 + 21) = 5.



>

2.7. Вычислить определители.

Алгебра и геометрия

    2    1  3 5      1 2
1). 0    -1 2 1 •2). 5 6
    ---7 3  0 2      6 8
    0    1  1 1      4 3
3  4       4 10 18 26
7  8  .3). 1  2  3 4 
10 12      1  3  5 7 
1  5       3  8 14 21

< 1). Так как в первом столбце |Л| стоят два нуля, то разлагаем |Л| по первому столбцу по формуле |Л| = ОцАц + «21^21 + а31^4з1 + a₄iA₄i:

2  1  3 5     -1 2 1    
0  -1 2 1 = 2  3 0 2 - 7
“7 3  0 2      1 1 1    
0  1  1 1               

  1
-1
  1

= 2-3 + 7-8 = 62.

3 5
2 1
1 1

2) . Вычитая из третьей строки |Л| первую и вторую строки, получим определитель с нулевой третьей строкой. Поэтому |Л| = 0.
3) . Вычтем из первой строки |Л| вторую и четвертую строки. Затем вычтем из четвертого столбца третий и разложим определитель по первой строке.

  4 10 18    26     0 0 1 1          0 0 1 0            
 1     2   3 4      1 2 3   4        1 2 3 1            
 1     3   5 7  --- 1 3 5   7  ---   1 3 5 2      ---   
 3     8 14  21     3 8 14 21        3 8 14 7           
       1 2 1    1   1 1    1 1   1       1     1         
= 1 •  13 2  =  1   1 2 =  0 0   1 = --- 1 1      = 2. >
                                         9   1          
       3 8 7    3   1 7    3 1   7       О 1             

2.8. Алгебраические дополнения и матрица А. Пусть А = (a,-j) - квадратная матрица. Алгебраическим дополнением Aij элемента а.;.; матрицы А называется число (—где Mij - определитель матрицы, полученной из А удалением г-й строки и j-ro столбца. Матрица А = (A,-j) называется матрицей алгебраических дополнений для А.
2.9. Теорема о матрице алгебраических дополнений.
Если А - квадратная матрица размера п X п, то А • Ат = Ат ■ А = |Л| • Еп - скалярная матрица с числом |Л| на главной диагонали.
Теорема 2.9 вытекает из 2.5(7) и 2.5(8).
2.10. Невырожденные, обратимые и обратные матрицы.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Матрица А размера пхп называется обратимой, если существует такая матрица Л⁻¹ размера пхп, что А А⁻¹ =

Системы линейных уравнений

11

А ¹А = Еп - единичная матрица. Матрица А ¹ называется обратной матрицей для А.

2.11. Теорема об обратной матрице.
Квадратная матрица А обратима в точности тогда, когда она невырождена. В этом случае Л⁻¹ = |Л|“¹ Ат.

Теорема 2.11 вытекает из 2.9, 2.5(6) и равенства |2?| = 1.

                                      / ¹ 2
2.12. Найти обратную матрицу Л⁻¹, если А = 3 2
                                      \-1 ⁰

< |Л| = 4, матрица А из алгебраических

< 2
равна —2
\ “⁸

-2 2 \    /2-2
4 —2 ,  =  —2  4
10 -4 /   у 2 —2

дополнений элементов А
-8
 10
—4


        А-¹


—Л -

        \А\


/ 2 —2 -8 \
—2   4 10
   2 -2 -4 /

/ 1 -1 —4 \
  -1   2   5  . >
¹ -¹ -2 У

1
4

1
2

3. Системы линейных уравнений


3.1. Линейные системы и их матрицы. Система линейных уравнений или линейная система - это система уравнений вида

апЖ1 ai2®2 а₂1®1   «22®2

aₘixi ат₂х₂

^1п^п
^2п^п

bi
^2

(1)

или кратко Ах — Ь,

^тп^п
/ Ж1


\ хп


Ьщ

(2)

X =

состоящая из т уравнений с числовыми коэффициентами aij и п неизвестных ®i,..., хп, где А = (а,:;/)т/„. _ матрицей системы Ах = b размера тхп, аЬи х - столбцы свободных членов и неизвестных. Матрица Ар размера тх (п+1), получаемая приписыванием справа к матрице А столбца свободных членов Ь, называется расширенной матрицей системы Ах = Ь.
3.2. Совместные и несовместные линейные системы.
Если при подстановке в систему Ах = b числовых значений Xi = т/1, ..., хп = уп получается верная система равенств, то стол-